Área de la red de intercambiadores 1-2

En la práctica, no se puede llevar a cabo el diseño de una red de intercambiadores 1-2 usando $N_k(S_k-1)$ carcasas y aprovechando toda la fuerza impulsora de la transferencia de calor en el intervalo $k$, ya que para ello se requiere un número fraccional de carcasas. En otras palabras, no es posible lograr el número óptimo de carcasas para la transferencia de calor. El valor más próximo que podemos alcanzar es $[N]_k(S_k-1)$, donde $[N]_k$ representa el número de carcasas entero y real. Por tanto, el área de la red de intercambiadores se calculará empleando el factor $F_T$ correspondiente a $[N]_k$ carcasas, según la ecuación .

$$A_{1-2} = \sum_{k=1}^K \frac{1}{\Delta T_{LMk} F_{Tk}} \sum_{i=i}^I \left (\frac{q_i}{h_i}\right)_k$$ (3.44)

Para calcular el factor $F_T$ correspondiente a $[N]_k$, empleamos las ecuaciones a .

Para $R \neq 1$,

$$P_{1-2} = \frac{1-\left(\frac{1-P_{N-2N}R}{1-P_{N-2N}}\right)^{\frac{1}{[N]_k}}}{R-\left(\frac{1-P_{N-2N}R}{1-P_{N-2N}}\right)^{\frac{1}{[N]_k}}}$$ (3.45)

$$F_T = \frac{\sqrt{R^2+1}\ln \left[ \frac{1-P_{1-2}}{1-RP_{1-2}}\r... ...n \left[\frac{2-P_{1-2}(R+1-\sqrt{R^2+1})}{2-P_{1-2}(R+1+\sqrt{R^2+1})}\right]}$$ (3.46)

Para $R=1$,

$$P_{1-2} = \frac{P_{N-2N}}{P_{N-2N}-P_{N-2N}[N]_k + [N]_k}$$ (3.47)

$$F_T = \frac{\frac{\sqrt{2} P_{1-2}}{1-P_{1-2}}}{\ln\left[\frac{2-P_{1-2}(2-\sqrt{2})}{2-P_{1-2}(2+\sqrt{2})}\right]}$$ (3.48)

Un parámetro que podemos determinar a partir de estas ecuaciones, es el área de transferencia de calor requerida por carcasa, $\frac{A_{1-2}}{[N]}$. Por supuesto se trata sólo de una estimación^3.7. Este valor puede ser mayor que el área máxima por carcasa $A_{C\text{max}}$. Si este es el caso, hay que incrementar el número de carcasas, hasta que se cumpla $[N] \geq \frac{A_{1-2}}{A_{C\text{max}}}$. En caso contrario, tampoco se puede asegurar que ninguna carcasa supere el valor $A_{C\text{max}}$, ya que el parámetro empleado no es más que un promedio. El único modo de estar seguros de que se cumple la restricción es completar el diseño, y averiguar cuál es la distribución de las áreas de transferencia de calor de las carcasas. En cualquier caso, el error cometido teniendo en cuenta este promedio no suele ser demasiado grande, y es perfectamente válido para una etapa de planificación y de selección del mejor diseño entre varias alternativas.

El algoritmo para lograr una red con el número mínimo de carcasas y el área de la red cuando todos los intercambiadores son 1-2, es el siguiente:

1. Las curvas compuestas balanceadas se dividen en tramos verticales de entalpías. Se calcula el número mínimo de carcasas para cada tramo, $N_k$, teniendo en cuenta las ecuaciones a .
2. Las corrientes (incluidas las de servicios auxiliares) se dibujan en un diagrama de trama, que nos muestra los tramos de entalpía, el valor de $N_k$ y la localización del punto pinch.
3. Se calcula el número total de carcasas para cada lado (por encima y por debajo del pinch), según las ecuaciones y .

   $$N_ = \sum_{k=1}^K N_k(S_k-1)$$ (3.49)

   
   
   donde K es el número de tramos verticales de entalpías por encima del pinch.

   $$N_ = \sum_{k=K+1}^M N_k(S_k-1)$$ (3.50)

   
   
   donde $M-K$ es el número de tramos verticales de entalpías por debajo del punto pinch. $M$ es el número total de tramos verticales de entalpías en las curvas compuestas balanceadas.
4. Calcular el número real de carcasas que tendrá la red, calculando la contribución de cada corriente mediante las ecuaciones y .

   $$N(i)_ = \left(\sum_{k=\alpha_i}^{\beta_i} N_k \right)_$$ (3.51)

   
   

   $$N(i)_ = \left(\sum_{k=\alpha_i}^{\beta_i} N_k \right)_$$ (3.52)

   
   
   donde $\alpha_i$ y $\beta_i$ indican el principio y el final de cada tramo vertical de entalpías, para la corriente $i$.

   Las correcciones que hay que realizar son:

   • Si $N(i)_$Sobre pinch$< 1$, entonces $N(i)_$Sobre pinch$= 1$.
   • Si $N(i)_$Bajo pinch$< 1$, entonces $N(i)_$Bajo pinch$= 1$.

   Tras las correcciones se vuelven a calcular el número de carcasas en las dos zonas de la red (ecuaciones y ).

   $$N_ = \sum_i N(i)_ - \sum_{k=1}^K N_k$$ (3.53)

   
   

   $$N_ = \sum_i N(i)_ - \sum_{k=K+1}^M N_k$$ (3.54)

   
   

5. El área de la red, por encima del pinch, formada por intercambiadores 1-2 viene dada por

   $$A_{1-2 \text{Sobre pinch}} = \sum_{k=1}^K \frac{1}{\Delta T_{LMk} F_{Tk}}\sum_{i=1}^{S_k} \left(\frac{q_i}{h_i}\right)_k$$ (3.55)

   
   

   Si el área media por carcasa

   $$\frac{A_{1-2 \text{Sobre pinch}}}{[N]_\text{Sobre pinch}}$$

   
   
   es mayor que el máximo valor del área permitida por carcasa, $A_{C\text{max}}$, entonces aumentamos el número de carcasas de la red sobre el pinch hasta que alcance el valor

   $$N_ = \frac{A_{1-2 \text{Sobre pinch}}}{A_{C\text{max}}}$$

   
   

   El área de la red, por debajo del pinch, formada por intercambiadores 1-2 viene dada por

   $$A_{1-2 \text{Bajo pinch}} = \sum_{k=K+1}^M \frac{1}{\Delta T_{LMk} F_{Tk}}\sum_{i=1}^{S_k} \left(\frac{q_i}{h_i}\right)_k$$ (3.56)

   
   

   Si el área media por carcasa

   $$\frac{A_{1-2 \text{Bajo pinch}}}{[N]_\text{Bajo pinch}}$$

   
   
   es mayor que el máximo valor del área permitida por carcasa, $A_{C\text{max}}$, entonces aumentamos el número de carcasas de la red sobre el pinch hasta que alcance el valor

   $$N_ = \frac{A_{1-2 \text{Bajo pinch}}}{A_{C\text{max}}}$$

   
   

6. El número de carcasas de la red completa se calcula según la ecuación .

   $$[N] = [N]_ + [N]_$$ (3.57)

   
   

Figura: Población de corrientes para el ejemplo .

Ejemplo 11

Calcule el número de carcasas necesarias para el proceso que se muestra en la figura , cuyas corrientes se dan en la tabla . Suponga $\Delta T_$min$= 10 ºC$,$X_P=0.9$, y un valor máximo para el área de cada carcasa de $500 m^2$.

Solución: Las curvas compuestas balanceadas para este problema se encuentran en la figura . El diagrama de trama de las corrientes (incluidas las auxiliares) se muestra en la figura . En esta figura también se muestran los tramos verticales de entalpías, y los valores de $R$, $P$ y $N$ para cada tramo, calculados a partir de las ecuaciones a .

El número total (fraccional) de carcasas vendrá dado por

$$N_ = \sum_{k=1}^K N_k(S_k-1) =$$

$$= 0.03412\cdot 1 + 0.6343\cdot 2 + 0.9172\cdot 1 + 2.7980 \cdot 3 =$$

$$= 10.61$$

$$N_ = \sum_{k=K+1}^M N_k(S_k-1) =$$

$$= 2.5225 \cdot 2 + 0.1501 \cdot 3 + 0.5793 \cdot 2 =$$

$$= 6.65$$

Comprobamos el número de carcasas necesario para cada corriente:

• Sobre el pinch
  

  $$N_ = 0.6343$$

  $$N_2 = 4.3836$$

  $$N_4 = 2.7980$$

  $$N_1 = 2.7980$$

  $$N_3 = 4.3836$$

  
  
• Bajo el pinch
  

  $$N_2 = 3.2519$$

  $$N_4 = 2.6726$$

  $$N_1 = 3.2519$$

  $$N_ = 0.7294$$

  
  

Tanto en el caso del agua de refrigeración como en el del vapor, el número de carcasas es inferior a la unidad, por lo que habrá que corregir sus valores para hacerlos igual a la unidad. Por tanto, el número de carcasas en cada zona de la red nos queda como sigue:

$$N_ = 10.61 + (1-0.6343) =$$

$$= 10.98 =$$

$$= 11$$

$$N_ = 6.65 +(1-0.7294) =$$

$$= 6.92 =$$

$$= 7$$

Ahora podemos calcular el área de la red formada por intercambiadores 1-2. En este caso, aprovecharemos los resultados de la tabla , y les aplicaremos el factor de corrección $F_T$ para calcular el área correspondiente a intercambiadores 1-2:

Intervalo
de entalpía	$A_{k 1-1}$	$F_{Tk}$	$A_{k 1-2}$
1	$194.2$	$0.9717$	$199.9$
2	$482.7$	$0.9930$	$486.1$
3	$459.4$	$0.8140$	$564.4$
4	$3566.1$	$0.7847$	$4544.5$
5	$2113.8$	$0.8493$	$2488.9$
6	$227.3$	$0.9965$	$228.1$
7	$366.1$	$0.9699$	$377.5$

Por tanto, el área promedio por encima del pinch es $\frac{199.9 + 486.1 + 564.4 + 4544.5 + 2488.9 + 228.1 + 377.5}{11}=527 m^2$.

Como este valor es superior al límite de $500 m^2$, hay que corregir el número de carcasas por encima del pinch. Esto es,

$$N_ = \frac{199.9+486.1+564.4+4544.5+2488.9+228.1+377.5}{500} = 11.6$$

El área promedio por debajo del pinch es $\frac{2488.9+228.1+377.5}{7}=442.1 m^2$, luego no es necesario corregir el número de carcasas por debajo del pinch.

Definitivamente, el número de carcasas de la red de intercambiadores de calor es

$$[N] = [N]_ + [N]_ =$$

$$= 12 + 7 =$$

$$= 19$$

Es decir, la red completa necesita 19 carcasas.

$\diamondsuit$