Efectividad térmica máxima para un intercambiador 1-2

Un método muy simple para lograr esto se basa en el hecho de que para cualquier valor de $R$ hay un máximo asintótico de $P$, que llamaremos $P_{\text{max}}$, en el que $F_T$ tiende a $-\infty$.

Cuando $R \neq 1$,

$$F_T = \frac{\sqrt{R^2+1} \ln \left [\frac{1-P}{1-RP}\right]}{(R-1)\ln\left[\frac{2-P(R+1-\sqrt{R^2+1})}{2-P(R+1+\sqrt{R^2+1})}\right]}$$ (3.20)

Cuando $R=1$,

$$F_T=\frac{\frac{P\sqrt{2}}{1-P}}{\ln\left[\frac{2-P(2-\sqrt{2})}{2-P(2+\sqrt{2})}\right]}$$ (3.21)

El valor máximo de $P$, para cualquier valor de $R$, ocurre cuando $F_T$ tiende a $-\infty$. De las ecuaciones y se deduce, que para que $F_T$ sea determinado debe cumplirse:

1. $P<1$
2. $RP < 1$
3. $\frac{2-P(R+1-\sqrt{R^2+1})}{2-P(R+1+\sqrt{R^2+1})}>0$

Las dos primeras condiciones se cumplen siempre, puesto que de no ser así no se podría lograr un diseño satisfactorio del cambiador. En cuanto a la tercera condición, tenemos dos posibilidades:

$$P<\frac{2}{R+1-\sqrt{R^2+1}} P<\frac{2}{R+1+\sqrt{R^2+1}}$$ (3.22)

$$P > \frac{2}{R+1-\sqrt{R^2+1}} P>\frac{2}{R+1+\sqrt{R^2+1}}$$ (3.23)

de las que debe cumplirse alguna de las dos, pero no las dos (esto es, o la o la ). Si prestamos más atención a la condición , podemos ver que para valores positivos de $R$, la expresión $R+1-\sqrt{R^2+1}$ es una función creciente. Por tanto,

• Si $R$ tiende a 0, la expresión $R+1-\sqrt{R^2+1}$ tiende a 0
• Si $R$ tiende a $\infty$, la expresión $R+1-\sqrt{R^2+1}$ tiende a $1$

De esto deducimos que para que se cumpla la condición , y para que $R$ tenga valores positivos, debe cumplirse $P>2$. Sin embargo, para que se pueda lograr un diseño, $P<1$, por lo que la condición no puede aplicarse. Nos queda pues la condición . Como

$$R+1+\sqrt{R^2+1}>R+1-\sqrt{R^2+1}$$ (3.24)

las dos inecuaciones de la condición se cumplen cuando

$$P<\frac{2}{R+1+\sqrt{R^2+1}}$$ (3.25)

Por tanto, el parámetro $P_$max viene dado por la ecuación

$$P_ = \frac{2}{R+1+\sqrt{R^2+1}}$$ (3.26)

En la práctica no se suele alcanzar este valor máximo de la eficiencia térmica, sino que el diseño se hace para una determinada fracción de la eficiencia térmica máxima:

$$P = X_P P_ 0 < X_P < 1$$ (3.27)

donde $X_P$ es una constante definida por el diseñador.

En la figura se muestra la representación gráfica de la constante $X_P$, en la curva del factor de corrección $F_T$. Como puede observarse, las regiones de diseño válido evitan las zonas de pendiente vertical.

Figura: El parámetro $X_P$ evita las zonas de pendiente vertical en las curvas de $F_T$, mientras que el criterio de un $F_T$ mínimo no evita estas zonas.

En ocasiones, la pendiente de la curva de $F_T$ es muy pequeña o muy grande. Para estos casos debe considerarse un intercambiador con varias carcasas, o con diferentes tipos de carcasas (figura ). Por ejemplo, analicemos el caso de un intercambiador con varias carcasas, en concreto con carcasas de 1 paso por carcasa y 2 pasos por tubos. Empleando carcasas 1-2 en serie se logra reducir el cruce de temperaturas en cada carcasa. Los perfiles que se muestran en la figura se pueden lograr bien con dos carcasas 1-2 en serie, bien con una única carcasa 2-4 (2 pasos por carcasa, 4 pasos por tubos). Comúnmente, el diseño más satisfactorio se encontraba mediante ensayo y error. Se comienza suponiendo una carcasa, y se halla el valor de $F_T$. Si este valor no es aceptable, entonces hay que aumentar el número de carcasas en serie, hasta que se alcanza un valor de $F_T$ aceptable para cada carcasa.

Figura: Si el cruce de temperaturas es muy grande, hay que recurrir a varias carcasas en serie.

Antes de deducir la expresión para hallar el número mínimo de carcasas para la red de intercambiadores, hay que hallar una expresión para deducir el número de carcasas necesario para una unidad. Si adoptamos el criterio establecido en la ecuación eliminamos la necesidad de hallar el número de carcasas mediante un proceso de ensayo y error, debido a que puede derivarse una expresión para hallar este valor.

La eficiencia térmica de $N$ carcasas 1-2 viene dado por la ecuación si $R \neq 1$, y por la ecuación si $R=1$.

$$P_{N-2N} = \frac{1-\left(\frac{1-P_{1-2}R}{1-P_{1-2}}\right)^N}{R-\left(\frac{1-P_{1-2}R}{1-P_{1-2}}\right)^N}$$ (3.28)

$$P_{N-2N} = \frac{P_{1-2}N}{P_{1-2}N-P_{1-2}+1}$$ (3.29)

Por tanto, la eficiencia máxima para una carcasa 1-2 viene dado por:

$$P_{\text{max}1-2} = \frac{2}{R+1+\sqrt{R^2+1}}$$ (3.30)

El valor de la eficiencia que se usará en el diseño, estará reducido según un coeficiente $X_P$, tal y como se establece en la ecuación .

$$P_{1-2} = X_P P_{\text{max}1-2}$$ (3.31)

Por tanto, nos queda, para $R \neq 1$

$$P_{N-2N} = \frac{1-\left(\frac{1-\frac{2X_P R}{R+1+1\sqrt{R^2+1}}... ...-\frac{2X_P R}{R+1+1\sqrt{R^2+1}}}{1-\frac{2X_P R}{R+1+\sqrt{R^2+1}}}\right)^N}$$ (3.32)

y para $R=1$

$$P_{N-2N} = \frac{\frac{2X_P N}{2+\sqrt{2}}}{\frac{2X_P N}{2+\sqrt{2}} -\frac{2 X_P}{2+\sqrt{2}+1}}$$ (3.33)

Las ecuaciones y definen las expresiones de la eficiencia térmica para $N$ carcasas 1-2 colocadas en serie, en función de $X_P$ y $R$. Estas ecuaciones se pueden emplear para hallar el número de carcasas 1-2 en serie, $N$, requeridas para satisfacer un determinado valor del parámetro $X_P$, de $R$ y una eficiencia térmica, $P_{N-2N}$, determinada. Por tanto, podemos despejar en estas ecuaciones el parámetro $N$. Para $R \neq 1$:

$$N = \frac{\ln \left(\frac{1-RP_{N-2N}}{1-P_{N-2N}}\right)}{\ln W}$$ (3.34)

donde

$$W = \frac{R+1+\sqrt{R^2+1}-2X_P R}{R+1+\sqrt{R^2+1}-2X_P}$$ (3.35)

Para $R=1$:

$$N = \left(\frac{P_{N-2N}}{1-P_{N-2N}}\right) \left(\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}-X_P}{X_P}\right)$$ (3.36)

Para satisfacer el valor impuesto en el parámetro $X_P$, $N$ debe ser el entero inmediatamente superior al valor obtenido en las dos expresiones anteriores (según sea $R \neq 1$ ó $R=1$). El valor de $X_P$ se escoge de manera que en el peor de los casos se asegure un valor mínimo del factor $F_T$ (por ejemplo, para $F_T>0.75$ se emplea $X_P=0.9$).

Ejemplo 10

Se necesita enfriar una corriente desde $410$ hasta $110 ºC$, empleando para ello una corriente que se caliente desde 0 hasta $360 ºC$, en un intercambiador de calor. El intercambiador es del tipo 1-2, y se emplea un factor $X_P=0.9$. Calcular el número de carcasas que se necesitan.

Solución:

Empleando las ecuaciones vistas en esta sección, el problema no tiene más complicación.

$$R=\frac{T_{H1}-T_{H2}}{T_{C2}-T_{C1}}=\frac{410-110}{360-0}=0.8333$$

$$P_{N-2N} = \frac{T_{C2}-T_{C1}}{T_{H1}-T_{C1}} = \frac{360-0}{410-0} = 0.8780$$

$$W=\frac{R+1+\sqrt{R^2+1}-2 R X_P}{R+1+\sqrt{R^2+1}-2 X_P} = 1.225$$

$$N = \frac{\ln \left[\frac{1-R P_{N-2N}}{1-P_{N-2N}}\right]}{\ln W} = 3.889$$

Luego son necesarias $4$ carcasas colocadas en serie.

$\diamondsuit$

Si el flujo en los intercambiadores es completamente en contracorriente, el número de carcasas coincide con el número de unidades. Sin embargo, si el flujo no es completamente en contracorriente, deberán usarse carcasas con múltiples pasos por tubos, lo que conlleva que el número de carcasas será como mínimo el número de unidades, esto es:

$$N_ \geq N_$$ (3.37)

Dado que el número de carcasas puede tener un efecto notable en el coste de la instalación, puede ser útil predecir el número mínimo de carcasas necesarias para una determinada red de intercambiadores.