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Coeficientes de película no constantes

Figura: Curva compuesta balanceada. Cada tramo representa al menos un intercambiador.
Image figb1

En la figura [*] se muestra una curva compuesta balanceada dividida en intervalos verticales de entalpía. Como se puede ver en la figura, cada tramo vertical representa al menos un intercambiador de calor. En el caso de la figura [*], el tramo de entalpía señalado se corresponde con la red de intercambiadores indicada3.3. En el caso mostrado, la red de intercambiadores se ha diseñado para que en cada intercambiador la media logarítmica de temperaturas sea igual a la del tramo de entalpía. Además también se ha logrado un diseño con el número mínimo de unidades, ya que el proceso consta de 5 corrientes, y en la red se disponen 4 intercambiadores. Para sintetizar una red como la anterior, deben cumplirse dos condiciones:

  1. Cada intercambiador puede lograr completamente el cambio de entalpía necesario para cada corriente. Esto es, cada corriente interviene en un solo cambiador.
  2. La relación entre los valores de el producto $ \dot{m}\cdot c_p$ en las corrientes de cada cambiador es igual a la relación de este producto en el tramo de entalpía. En este caso, en el tramo la relación es $ \frac{7}{14}$, y podemos comprobar que en cada cambiador la relación es la misma. Si es necesario, se puede dividir una corriente para lograr esta condición (en este caso es imprescindible dividir una corriente, porque con un número impar de corrientes es imposible cumplir la primera condición).

Cada vez que colocamos un intercambiador cumpliendo las reglas anteriores, nos acercamos más a lograr un diseño con el número mínimo de unidades, ya que todas las corrientes que restan por emparejar mediante una unidad pueden cumplir las reglas anteriores. Además, con estas reglas también se logra que la temperatura media logarítmica en cada intercambiador sea igual a la temperatura media logarítmica en el tramo de entalpía.

El área de intercambio de calor requerida para el tramo $ k$, en el que los coeficientes de película pueden ser diferentes en todos los cambiadores, vendrá dada por la ecuación [*].

$\displaystyle A_k = \frac{1}{\Delta T_k}\sum_i^I \sum_j^J \frac{Q_{ij}}{U_{ij}}$ (3.6)

donde Si en vez de poner el coeficiente global de transferencia de calor, introducimos los coeficientes de película para el lado frío y el lado caliente del cambiador, la ecuación [*] se convierte en la [*].

$\displaystyle A_k = \frac{1}{\Delta T_k}\sum_i^I \sum_j^J Q_{ij}\left ( \frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_j}\right)$ (3.7)

donde $ h_i$ y $ h_j$ son los coeficientes de película para la corriente caliente $ i$ y para la corriente fría $ j$ (que pueden incluir correcciones por el ensuciamiento y la resistencia térmica de la pared de los tubos).

De la ecuación [*] se deduce inmediatamente la ecuación [*].

$\displaystyle A_k = \frac{1}{\Delta T_k}\left ( \sum_i^I \sum_j^J \frac{Q_{ij}}{h_i}+\sum_i^I \sum_j^J \frac{Q_{ij}}{h_j}\right)$ (3.8)

Dado que cada tramo vertical de entalpías $ k$ se encuentra en balance energético, la suma de las entalpías de todas las corrientes frías que intercambian calor con la corriente caliente $ i$ debe ser igual a la diferencia de entalpías necesaria para la corriente caliente $ i$, lo que nos conduce a la ecuación [*].

$\displaystyle \sum_j^J Q_{ij} = q_i$ (3.9)

donde

De igual modo, la suma de las entalpías de las corrientes calientes que intercambian calor con la corriente fría $ j$ debe ser igual a la diferencia de entalpías necesaria para la corriente $ j$, lo que nos conduce a la ecuación [*].

$\displaystyle \sum_i^I Q_{ij} = q_j$ (3.10)

donde

Por tanto,

$\displaystyle \sum_i^I \sum_j^J \frac{Q_{ij}}{h_i} = \sum_i^I \frac{q_i}{h_i}$ (3.11)

y

$\displaystyle \sum_i^I \sum_j^J \frac{Q_{ij}}{h_j} = \sum_j^J \frac{q_j}{h_j}$ (3.12)

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación [*], obtenemos la ecuación [*].

$\displaystyle A_k = \frac{1}{\Delta T_k} \left ( \sum_i^I \frac{q_i}{h_i} + \sum_j^J \frac{q_j}{h_j} \right )$ (3.13)

Si extendemos la ecuación [*] a todos los tramos verticales de entalpía, resulta la ecuación [*].

$\displaystyle A = \sum_k^K A_k = \sum_k^K \frac{1}{\Delta T_k} \left ( \sum_i^I \frac{q_i}{h_i} + \sum_j^J \frac{q_j}{h_j} \right )$ (3.14)

La ecuación [*] nos da el área de la red completa, cuando los coeficientes de película son diferentes en todos los intercambiadores. Sin embargo, se supone que los coeficientes de película son constantes dentro del intercambiador. Los coeficientes de película pueden ser incluso diferentes en cambiadores que están situados dentro del mismo tramo de entalpías.

El modelo de transferencia de calor empleando para deducir la ecuación [*] es el vertical. Este modelo presenta el problema de que no nos conduce al área mínima cuando los coeficientes de película son muy diferentes. En estos casos, el único modo de lograr un área mínima para la red de intercambiadores es una transferencia no vertical. Por ejemplo, en la figura [*]a, la corriente caliente $ A $ con un bajo coeficiente de película se pone en contacto con la corriente fría $ C$ que tiene un alto coeficiente de película. La corriente $ B $ también con alto coeficiente de película se pone en contacto con la corriente $ D$ con bajo coeficiente de película. En los dos intercambiadores formados, la diferencia de temperaturas viene dada por la separación vertical entre las curvas (es una transferencia de calor vertical). Con esta disposición de los cambiadores se requieren3.4 $ 1616$ m$ ^2$ de área para la red que forman los dos intercambiadores (se puede calcular de manera inmediata con la ecuación [*]).

Figura: Cuando la variación de los coeficientes de película es muy grande, la transferencia de calor vertical no proporciona el área mínima.
Image fig74

Por el contrario, en la figura [*]b la disposición de los cambiadores no es vertical, esto es, hay cambiadores que cruzan el punto pinch. La corriente $ A $ se pone en contacto con la $ D$, y la corriente $ B $ con la $ C$. En este caso, se intenta que las transferencias se produzcan entre corrientes con similares coeficientes de película. Además, las diferencias de temperatura son mayores en estos cambiadores que en los cambiadores del caso anterior. Como resultado, el área requerida para la red completa3.5 es de $ 1250$ m$ ^2$, menor que en el caso anterior.

Este caso demuestra que cuando las diferencias entre los coeficientes de película son muy grandes, la ecuación [*] no predice el valor mínimo del área de la red de intercambiadores de calor. En estos casos, para predecir el mínimo es necesario acudir a la programación lineal[8]. A pesar de ello, la ecuación [*] es todavía útil para calcular el área de la red con el propósito de estimar el coste de la instalación, debido a que:

  1. Cuando los coeficientes de película varían menos de un orden de magnitud, el valor proporcionado por la ecuación [*] está en un entorno del $ 10\%$ alrededor del valor mínimo real, según establece Linnhoff en[6].
  2. El diseño final de la red no logrará el mínimo de área de intercambio, debido al sobredimensionamiento. Un valor realmente mínimo no es aconsejable, ya que proporciona redes muy complejas.
  3. El valor del área proporcionado por esta ecuación se emplea normalmente en etapas de prediseño, donde se intenta elegir un diseño entre varios, de manera que se alcance un compromiso entre el coste de la red (coste fijo) y el consumo energético (coste variable). Por tanto, el valor del área se emplea en conjunto con estimaciones económicas que llevan asociada una gran incertidumbre, por lo que es inútil obtener un valor más preciso del área. Es más, en muchas ocasiones, esta incertidumbre asociada al valor del área y al coste de la red de intercambiadores de calor, es menor que la incertidumbre asociada a otras instalaciones en esta etapa del diseño.

En cuanto al valor de los coeficientes de película, podemos acudir a tres fuentes diferentes:

  1. Valores tabulados, como el excelente manual [9].
  2. Suponiendo un valor de la velocidad del fluido, y sus propiedades físicas (por ejemplo, calculando valores medios según la temperatura de entrada y salida del fluido), y aplicando alguna correlación de propiedades físicas.
  3. Si se conocen las pérdidas de carga admisible para cada corriente, se pueden usar las expresiones de Zhu y Nie[10] para el cálculo de los coeficientes de película.


Tabla: Datos de las corrientes para el ejemplo [*]
Corriente $ T_S $ ($ ºC$) $ T_T $ ($ ºC$) $ \Delta H$ ($ MW$) $ CP$ $ h $
( $ MW ºC^{-1}$) ( $ MW m^{-2} ºC$)
1. Alimentación reactor 1 20 180 $ 32.0$ $ 0.20$ $ 0.0006$
2. Producto reactor 1 250 40 $ -31.5$ $ 0.15$ $ 0.0010$
3. Alimentación reactor 2 140 230 $ 27.0$ $ 0.30$ $ 0.0008$
4. Producto reactor 2 200 80 $ -30.0$ $ 0.25$ $ 0.0008$
5. Vapor 240 239 $ -7.5$ $ 7.50$ $ 0.0030$
6. Agua de refrigeración 20 30 $ 10.0$ $ 1.00$ $ 0.0010$


Ejemplo 9

Para el proceso mostrado en la figura [*], calcular el área de la red de intercambiadores de calor. Se dispone de vapor a $ 240 ºC$, de agua de refrigeración a $ 20 ºC$, que puede ser devuelta a la torre de refrigeración a $ 30 ºC$. En la tabla [*] se muestran los datos de las corrientes junto con los servicios auxiliares y los coeficientes de transferencia de calor para cada corriente.

Solución:

En primer lugar, hay que construir las curvas compuestas usando los datos de la tabla [*]. En la figura [*] se muestran estas curvas compuestas. Nótese cómo se ha incluido el vapor y el agua de refrigeración dentro de las curvas compuestas. Esta curva compuesta, que incluye los servicios auxiliares, se denomina balanceada. En la misma figura, puede observarse que los tramos verticales comienzan o terminan en los cambios de pendiente de las curvas. Éste es el modo de hallar los tramos verticales de entalpía.

En la figura [*] se muestra la población de corrientes en cada intervalo de entalpías, junto con las temperaturas de las corrientes frías y calientes. Aplicando la ecuación [*], obtenemos los resultados que se muestran en la tabla [*]. Así, para $ \Delta T_$min$ = 10 ºC$ el área de la red es $ 7410 m^2$.

El diseño de la red que se muestra en la figura [*] logra un consumo mínimo de energía; podemos comparar el área de esta red con el valor mínimo, para comprobar si la red que logra un consumo energético mínimo (coste variable mínimo), logra también un área de intercambio mínima (coste fijo mínimo). Si usamos los mismos coeficientes de transferencia de calor de la tabla [*], el diseño mostrado en la figura [*] requiere $ 8341 m^2$, que es un valor un $ 13\%$ superior al valor mínimo del área. Es lógico, puesto que la función objetivo en la optimización de la red de la figura [*] fue el consumo energético y no el área de la red. A pesar de ello, se logró un diseño que emplea el número mínimo de unidades, lo que en la mayoría de las ocasiones conduce a diseños más sencillos.

$ \diamondsuit$

Figura: Curvas compuestas para el ejemplo [*]
Image fig75

Figura: Población de corrientes en cada intervalo de entalpías para el ejemplo [*]
Image fig76


Tabla: Área de la red de intercambiadores para el ejemplo [*]
Intervalo de Corrientes calientes Corrientes frías
entalpías $ \Delta T_{LM_k} (ºC)$ $ \sum \left (\frac{q_i}{h_i}\right )_k$ $ \sum \left (\frac{q_j}{h_j}\right )_k$ $ A_k$
1 $ 17.38$ $ 1500$ $ 1875$ $ 194.2$
2 $ 25.30$ $ 2650$ $ 9562.5$ $ 482.7$
3 $ 28.65$ $ 5850$ $ 7312.5$ $ 459.4$
4 $ 14.43$ $ 23125$ $ 28333.3$ $ 3566.1$
5 $ 29.38$ $ 25437.5$ $ 36666.7$ $ 2113.8$
6 $ 59.86$ $ 6937.8$ $ 6666.7$ $ 227.4$
7 $ 34.60$ $ 6000$ $ 6666.7$ $ 366.1$
Total $ 7409.6$


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2004-05-30