El algoritmo de la tabla del problema

Las curvas compuestas son muy útiles para visualizar el problema de la integración energética, pero no son demasiado útiles como método de cálculo, ya que se basan en construcciones gráficas. Existe un método no gráfico para fijar los objetivos de energía, el denominado algoritmo de la tabla del problema.

Comenzamos dividiendo el proceso en intervalos de temperatura del mismo modo que con las curvas compuestas.

Al dividir el proceso en intervalos de temperatura^2.5 puede ser que no todas las diferencias de temperatura sean superiores o iguales a $\Delta T_$min. Como vimos en la figura , para que el coste de la red de intercambiadores sea óptimo, la mínima diferencia de temperatura en cada cambiador debe ser $\Delta T_$min. Por tanto nos tenemos que asegurar que como mínimo la diferencia de temperaturas en cada intervalo sea $\Delta T_$min. Si es mayor, no implica unos costes mayores, ya que la curva de la figura es para la diferencia mínima, y no para la diferencia a secas; es decir, la diferencia mínima de temperaturas debe ser $\Delta T_$min, ni mayor ni menor. Y esta diferencia se da en el pinch, pero las diferencias en otros cambiadores pueden ser mayores. Es lógico, ya que el cuello de botella para la transferencia de calor nos lo da la diferencia mínima de temperaturas, y se presenta en el pinch; si en algún otro cambiador la diferencia fuera menor, entonces ése sería el punto pinch.

Figura: Curvas compuestas originales y modificadas. Las modificadas se tocan en el pinch.

Así, en la figura a observamos que no podemos asegurar que la diferencia de temperaturas en el intervalo mostrado sea mayor que $\Delta T_$min. La forma de averiguarlo es disminuir la temperatura de la curva caliente en $\Delta T_$min$/2$, y aumentar la curva fría en $\Delta T_$min$/2$. Por tanto, ahora las curvas se tocarán en el punto pinch (fig. b). Si la diferencia entre las curvas hubiera sido menor, entonces se hubieran cruzado, de manera que ahora la curva fría quedaría por encima de la caliente. Esto es lo que ocurre por ejemplo en la figura a, que corresponde a un problema umbral sin necesidades de calefacción. En los problemas umbral no tenemos un punto pinch verdadero, y era necesario introducir servicios auxiliares para añadir puntos pinch al proceso. En este caso, vemos claramente cómo al aplicar la regla anterior, la curva fría está por encima de la curva caliente, existiendo una diferencia horizontal máxima entre ellas. Para poder aplicar la metodología pinch a este proceso, debemos añadir un servicio auxiliar (de calefacción en este caso), de manera que compense esta diferencia horizontal, y las curvas se toquen en un punto (fig. b).

Figura: En los problemas umbral, hay que introducir un punto pinch para asegurar la mínima diferencia de temperaturas

En resumen, si no conocemos la ubicación del pinch a priori (que es lo habitual), aplicamos la regla anterior en cada intervalo obtenido de la tabla de corrientes del problema. Al hacer esto el problema se vuelve infactible, ya que la curva fría puede situarse por encima de la caliente. Por tanto, para solucionarlo alteramos la distancia horizontal (añadiendo servicios), de manera que el proceso presente un punto pinch (es más, éste es la manera de averiguar numéricamente la situación del pinch, como veremos en el ejemplo de la tabla ). Esto es imprescindible para asegurar la mínima diferencia de temperaturas en cada intervalo, ya que de no hacerlo el coste total sería superior al mínimo (por necesitar un área de transferencia mayor).

Una vez que hemos dividido las corrientes compuestas por intervalos lineales, y hemos alterado la distancia vertical entre las mismas del modo explicado en los párrafos anteriores, podemos calcular los objetivos de energía realizando un balance en cada intervalo.

En cada intervalo de temperatura modificado, el balance de energía es

$$\Delta H_i = \left ( \sum_{\text{Corrientes fr\'ias}}{CP_C} - \sum_{\text{Corrientes calientes}}{CP_H} \right )_i \cdot \Delta T_i$$ (2.1)

donde $\Delta H_i$ es la entalpía intercambiada entre las corrientes en el intervalo $i$, y $\Delta T_i$ es la diferencia de temperaturas en el intervalo $i$. Cuando las corrientes calientes dominan a las frías, el intervalo tiene un exceso de energía, por lo que $\Delta H$ es negativo. Por el contrario, cuando las frías dominan a las calientes, el sistema tiene un déficit de energía, por lo que $\Delta H$ es positivo. Este criterio de signos es consistente con el usado para las reacciones químicas; por ejemplo, cuando la reacción cede energía, su diferencia de entalpía es negativa. Este balance es el que nos dará las diferencias de entalpía en cada intervalo. Si estas diferencias son negativas estaremos en una situación como la de la figura .

Tabla: Corrientes de la tabla , con las temperaturas modificadas

Corriente	Tipo	$T_S$	$T_T$	$T_S^*$	$T_T^*$
1	Fría	20	180	25	185
2	Caliente	250	40	245	35
3	Fría	140	230	145	235
4	Caliente	200	80	195	75

Este método es lo que se conoce como algoritmo de la tabla del problema. Para aclarar cómo se desarrolla, vamos a aplicarlo en un ejemplo. En la tabla se muestran las corrientes de un problema, donde se indican las temperaturas originales, $T$, y las temperaturas modificadas, $T^*$ (en este caso $\Delta T_$mines $10$ ^oC).

Figura: Población de corrientes para la tabla

La población de corrientes se muestra en el esquema de la figura . En este esquema (similar a los diagramas de trama mostrados en la figura ) tanto las corrientes frías como las calientes comparten la misma escala de temperaturas; ésta es la temperatura modificada. Junto a cada corriente se muestra la temperatura real^2.6. En este caso, como hay un punto pinch de proceso, las diferencias de temperatura en cada intervalo son iguales tanto para las modificadas como para las reales. Por tanto, podíamos haber obviado el paso de modificar las temperaturas.

Figura: Balance de energía en cada intervalo de temperaturas

El siguiente paso es realizar el balance de energía en cada intervalo. Los resultados se muestran en la figura , donde se ha empleado la ecuación . En algunos intervalos de la figura existe un exceso de energía y en otros un déficit. Hasta ahora hemos realizado la recuperación de energía en cada intervalo, pero también la podemos realizar entre intervalos. La única restricción es no transferir energía a través del pinch, ya que esto supondría un mayor consumo de servicios auxiliares, como ya vimos en la figura .

Para realizar la transferencia de energía entre intervalos, enviamos los excesos de un intervalo a los inferiores, como si la energía descendiera por una cascada. Esto es posible, ya que podemos transferir energía desde una corriente caliente en un intervalo de mayor temperatura a una fría en otro de menor temperatura, sin violar la diferencia mínima de temperaturas^2.7. La figura muestra el diagrama de cascada para nuestro problema. En cada intervalo de temperatura se muestra la diferencia de entalpía, y el nivel de entalpía en cada intervalo, comenzando desde 0 MW para el intervalo superior (este es el nivel de referencia para la entalpía). Las diferencias de entalpía se transfieren al nivel inmediatamente inferior (ya sean excesos ó déficits). El extremo superior del diagrama nos da las necesidades de calefacción y el inferior las de refrigeración.

En la figura a se muestra que en algunos niveles de temperatura la entalpía es negativa. Cuando se transfiere energía desde un nivel superior a otro inferior tenemos niveles positivos de entalpía. Los niveles negativos de entalpía implican una transferencia de energía desde un nivel inferior a otro superior, que como ya hemos dicho supone violar la diferencia mínima de temperaturas (es más, también se viola el segundo principio de la termodinámica, ya que la curva fría está por encima de la caliente). Por tanto, tenemos que eliminar estos niveles con entalpías negativas. En otras palabras, es necesario suministrar energía al sistema en forma de calefacción. Para ello, modificamos la referencia de entalpías, de manera que el primer intervalo tendrá como valor el valor absoluto de la entalpía más negativa del sistema. De este modo, al transferir energía hacia abajo en la cascada, los niveles de entalpía serán positivos, excepto en el pinch, donde será nulo, ya que no podemos transferir energía a través del pinch. Esta propiedad es la que usamos para identificar el pinch.

Si no hubiéramos tenido ningún valor negativo, y todos hubieran sido positivos, entonces hubiera sido necesario añadir refrigeración, en un valor igual al menor nivel de entalpía, de manera que todos los niveles de entalpía hubieran disminuido. En el punto donde este nivel era mínimo, ahora tendríamos un valor nulo, ya que éste es el pinch.

Figura: El diagrama de cascada del problema

En resumen, para nuestro caso tenemos que aportar $7.5$ MW como calefacción, tenemos que retirar $10.0$ MW en la refrigeración, y el punto pinch está en $145$ ^oC de temperatura modificada (que se corresponde con $140$ ^oC para la corriente fría y $150$ ^oC para la caliente).

Hay que hacer notar como la figura a corresponde en realidad a un problema umbral, ya que las necesidades de calefacción son nulas. Sin embargo, éste es un problema infactible ya que los niveles negativos de entalpía implican transferencia desde la curva fría a la caliente. Es una situación similar a la de la curva modificada de la figura a. Para hacer factible el problema, añadimos un servicio de calefacción de manera que el nivel de entalpía en el pinch sea nulo (esto es, las dos curvas se tocan en el pinch).

Figura: Diagrama de flujo del ejemplo

Ejemplo 1

En la figura se muestra el diagrama de flujo en proceso de destilación a baja temperatura. Calcule los requerimientos energéticos de vapor y agua de refrigeración, así como la posición del pinch. En este caso, se ha optado por una diferencia mínima de temperaturas de $5$ ^oC.

Solución:

El primer paso es extraer los datos de las corrientes a partir del diagrama de flujo. Los resultados están en la tabla . Tras esto, modificamos las temperaturas. Por tanto, añadimos $2.5$ ^oC a las corrientes frías y disminuimos $2.5$ ^oC las corrientes calientes.

Después, realizamos el balance de energía en cada intervalo. Los resultados se muestran en la figura . Con estos datos podemos dibujar el diagrama de cascada, que se muestra en la figura . La entalpía más negativa es $-1.84$ MW. Por tanto añadimos este valor a todos los intervalos, con lo que obtenemos $Q_{H\text{min}} = 1.84$ MW, $Q_{C\text{min}} = 1.84$ MW. El pinch se presenta a una temperatura modificada de $-21.5$ ^oC, que se corresponde con una temperatura de la curva caliente de $-19$ ^oC, y una temperatura de la curva fría de $-24$ ^oC.

Con toda la información hallada, ya podríamos estimar el coste de operación, el coste de la instalación y la disposición óptima de los intercambiadores. Lo veremos en los siguientes capítulos.

$\diamondsuit$

Tabla: Corrientes del ejemplo

Corriente	Tipo	$T_S$ (^oC)	$T_T$ (^oC)	$T_S^*$ (^oC)	$T_T^*$ (^oC)	$\Delta H$ (MW)	$CP$ (MW^oC$^{-1}$)
1. Alim. columna 1	Caliente	$20$	0	$17.5$	$-2.5$	$0.8$	$0.04$
2. Condens. columna 1	Caliente	$-19$	$-20$	$-21.5$	$-22.5$	$1.2$	$1.20$
3. Condens. columna 2	Caliente	$-39$	$-40$	$-41.5$	$-42.5$	$0.8$	$0.80$
4. Reboiler columna 1	Fría	$19$	$20$	$21.5$	$22.5$	$1.2$	$1.20$
5. Reboiler columna 2	Fría	$-1$	0	$1.5$	$2.5$	$0.8$	$0.80$
6. Fondo columna 2	Fría	0	$20$	$2.5$	$22.5$	$0.2$	$0.01$
7. Cabeza columna 2	Fría	$-40$	$20$	$-37.5$	$22.5$	$0.6$	$0.01$

Figura: Balance de energía del ejemplo

Figura: Diagrama de cascada del ejemplo