Balance de exergía. Eficiencia exergética.

Como ya hemos señalado, no existe una ley de conservación de la exergía. Por tanto, para poder realizar un balance de exergía debemos incluir el término correspondiente a la pérdida de exergía. El balance de exergía se expresa mediante la siguiente ecuación:

$$B_d = \Delta B_s + B_a + \sum \Delta B_q + W + \delta B$$ (6.16)

donde:

• $B_d$ y $B_a$ son las exergías de la materia que entra y sale del sistema, respectivamente
• $\Delta B_s$ es el incremento de exergía del sistema
• $\Delta B_q$ es el incremento de exergía del foco caliente que está en contacto con el sistema
• $W$ es el trabajo desarrollado por el sistema
• $\delta B$ es la pérdida interna de exergía del sistema

La disminución de la exergía del foco caliente puede calcularse empleando un ciclo reversible de Carnot, que usa el entorno como foco frío. Si cambiamos los signos, obtenemos el incremento de exergía:

$$\Delta B_q = -Q\frac{T-T_0}{T}$$ (6.17)

donde:

• $Q$ es la cantidad de calor que toma el sistema del foco caliente
• $T$ es la temperatura del foco caliente

El sistema que estemos considerando debe tener unos límites determinados. Las temperaturas de los focos calientes que interactúan con el sistema deben ser medidas en la frontera del sistema, justo donde tiene lugar la transferencia de calor.

En un proceso en estado estacionario, con velocidad de flujo constante, composición química constante, etc, tenemos que:

$$\Delta B_s = 0$$ (6.18)

y por tanto el balance de exergía se reduce a:

$$\dot B_d = \dot B_a + \sum \Delta \dot B_q + \dot W + \delta \dot B$$ (6.19)

donde los términos con punto indican cantidades por unidad de tiempo.

La exergía $B_a$ comprende tanto a la exergía de los productos útiles, $B_{au}$, como a la exergía de los residuos, $B_{aw}$. Como se señaló anteriormente, la exergía de los residuos es la pérdida externa de exergía. Luego:

$$B_a = B_{au} + B_{aw} = B_{au} + \delta B_{ex}$$ (6.20)

La cantidad $\Delta B_s$ se puede dividir en también en estos dos términos: $\Delta B_{su}$ y $\Delta B_{sw}$. Como ejemplo podemos poner el caso de un hervidor. En el arranque, se produce un aumento de la exergía al calentar el fluido. Sin embargo, cuando se pare el equipo, este aumento de la exergía no se podrá aprovechar, porque el fluido se enfriará de nuevo hasta la temperatura ambiente. Luego ese incremento inicial de exergía no es aprovechable.

Los componentes del balance de exergía pueden dividirse en tres categorías:

• Exergía de los productos útiles
• Pérdidas de exergía
• Exergía de la materia que entra al sistema

Se define el grado de perfección, $\eta_p$, como:

$$\eta_p = \frac{\text{Exergía útil}}{\text{Exergía de entrada}}$$ (6.21)

El denominador de la ecuación expresa la exergía aportada al sistema en estado estacionario. En el caso de que el sistema no se encuentre en estado estacionario, hay que tener en cuenta la exergía del sistema al inicio y al final del período de estudio. La expresión matemática del grado de perfección queda como sigue:

$$\eta_p = \frac{B_{au} + \sum \Delta B_{qu} + W_u + B_{seu}}{B_d - \sum \Delta B_{qf} - W_f + B_{sb}}$$ (6.22)

donde:

• $B_{au}$ es la exergía útil de los productos del proceso
• $B_d$ es la exergía aportada al sistema
• $\Delta B_{qu}$ es el incremento de la exergía útil del foco caliente
• $-\Delta B_{qf}$ es la disminución de la exergía del foco caliente ( $-\Delta B_{qf} > 0$)
• $W_u$ es el trabajo útil desarrollado por el sistema
• $-W_f$ es el trabajo aportado al proceso ($-W_f>0$)
• $B_{sb}$ es la exergía del sistema al inicio del proceso
• $B_{seu}$ es la exergía útil del sistema al final del proceso

En algunos proceso el parámetro $\eta_p$ no es demasiado útil, y se emplea en su lugar la eficiencia exergética, $\eta_B$:

$$\eta_B = \frac{\text{Efecto exergético útil}}{\text{Exergía aportada al sistema}}$$ (6.23)

La eficiencia exergética puede expresarse matemáticamente del siguiente modo:

$$\eta_B = \frac{B_{au} - B_{dn} + \sum \Delta B_{qu} + W_u + \Delta B_{su}}{B_{df} - \sum \Delta B_{qf} - W_f}$$ (6.24)

donde:

• $B_{dn}$ es la exergía de las sustancias que entran al proceso, que no son fuente de energía pero que contribuyen al producto útil del proceso (y por tanto a la exergía útil de este producto)
• $B_{df}$ es la exergía de las sustancias que entran en el sistema, y que son fuentes de energía aprovechables (como el fuel)
• $\Delta B_{su}$ es el incremento de la exergía útil del sistema

La eficiencia exergética es siempre inferior a la unidad, excepto en el caso de un proceso reversible e ideal, en el que es igual a la unidad. Por ejemplo, la eficiencia exergética de un ciclo ideal de Carnot es siempre igual a la unidad, independientemente de los valores de las temperaturas de los focos entre los que opera el ciclo.

Teniendo en cuenta esto, podemos calcular la eficiencia exergética de cualquier proceso térmico como la relación entre el rendimiento energético real y el rendimiento energético máximo (que viene dado por un ciclo de Carnot operando entre los mismos focos que el proceso real). En el caso de una máquina térmica:

$$\eta_B = \frac{W_u}{-\Delta B_{qf}} = \frac{W_u}{Q_f\frac{T_f-T_0}{T_f}} = \frac{\eta_E}{\eta_{E\text{max}}}$$ (6.25)

donde:

• $W_u$ es el trabajo útil desarrollado por la máquina
• $-\Delta B_{qf}$ es la disminución de la exergía del foco caliente
• $\eta_E = \frac{W_u}{Q_f}$ es el rendimiento energético de la máquina real
• $\eta_{E\text{max}}$ es el rendimiento energético de un ciclo de Carnot operando entre los mismos focos que la máquina real

De la misma manera, para una bomba de calor (o un refrigerador):

$$\eta_B = \frac{\Delta B_{qu}}{-W_f}=\frac{-Q_u\frac{T_u-T_0}{T_u}}{-W_f} = \frac{\eta_E}{\eta_{E\text{max}}}$$ (6.26)

La ecuación puede aplicarse tanto a una bomba de calor como a un refrigerador, pero teniendo en cuenta los signos de cada término. Para un refrigerador, $Q_u > 0$ pero $T_u -T_0 < 0$. Por tanto, $\eta_{E\text{max}}=\frac{T_0-T_u}{T_u}$. En cambio, en una bomba de calor, $Q_u < 0$, pero $T_u - T_0 > 0$; por tanto $\eta_{E\text{max}} = \frac{T_u -T_0}{T_u}$.

Los balances de exergía suelen representarse en diagramas de flujo como el de la figura . El ancho de las bandas es proporcional al valor de la exergía. La pérdida interna de exergía tiene una banda que aumenta que aumenta dentro de los límites del sistema, desde cero hasta $T_0\sum \Delta S$.

Figura: Diagrama de bandas de un balance de exergía

Se han propuesto diversas maneras de representar el diagrama de flujo de la energía y de la exergía simultáneamente. En la figura se muestra una de ellas, para un sistema en estado estacionario. Las bandas con fondo blanco indican los flujos de energía, y las bandas con líneas oblicuas indican los flujos de exergía. Las áreas con relleno en cruz indican pérdidas de exergía.

Figura: Diagrama de bandas de un balance de energía y de un balance de exergía, para un proceso en estado estacionario

En la figura se muestran los diagramas de bandas combinados de exergía y energía para diferentes tipos de máquinas térmicas. Se observan claramente las diferencias entre el balance de energía y el de exergía. Por ejemplo, no existe un flujo de exergía asociado a los flujos de calor hacia (ó desde en el caso de la bomba de calor) el entorno. En el caso de la bomba de calor, el calor aportado al habitáculo calentado es mucho mayor que el trabajo realizado, pero en cambio la exergía aportada es menor. En el caso del refrigerador, los flujos de energía del calor útil y de la exergía útil tienen sentidos contrarios. Estos dos ejemplos no son más que verificaciones del Segundo Principio de la Termodinámica.

Figura: Diagramas de bandas de energía y exergía para diferentes tipos de máquinas térmicas